在数学方面，刘徽完成《九章算术注》，是中国数学史上宝贵的文献，即在世界数学史上也有一定的地位，主要贡献如下：
极限观念与割圆术。
关于体积计算的刘徽定理。
创立十进小数记法。
改进了线性方程组的解法《九章算术》中有一章专讲线性方程组问题。
总结和发展了重差术我国古代，将用“表”（标杆）或“矩”（刻划以留标记）进行两次测望的测量方法称做“重差术”。
东亚
景初二年（238年），倭国中邪马台国的卑弥呼女王派遣难升米和都市牛利两个使者[62] ，来到朝鲜半岛上的带方郡，向太守刘夏提出，希望能去魏都洛阳朝见魏国皇帝，进献贡品。刘夏答应了他们的请求，并亲自带领使者来到了国都洛阳。这两位使者向魏明帝献上了四个男奴隶，六个女奴隶以及二匹二丈的布。
远涉重洋来朝贡，让魏明帝非常高兴，于是下诏封卑弥呼女王为“亲魏倭王”，赐以金印紫绶，同时封正使难升米为“率善中郎将”，副使都市牛利为“率善校尉”，并赐以银印。作为对卑弥呼贡品的答礼，魏明帝赐给绛地交龙锦五匹、蒨绛五十匹，绀青五十匹，又单赐卑弥呼绀地句文锦三匹、细班华罽五张、白绢五十匹、金八两、五尺刀二口、铜镜百枚，珍珠、铅丹各五十斤。
欧洲
曹魏和罗马帝国也有陆路交往，增辟了与罗马交往的新北道，由玉门关转向西北，通过横坑（今库鲁克山），经五船以东转西进入车师前部（哈拉和卓）。此外，据《魏略》记载，大秦（当时称罗马帝国为大秦）的邮驿制度与中国极为相似：“旌旗黎鼓，白盖小车，邮驿亭置如中国……人民相属，十里一亭，三十里一置”。可以推测，那时曹魏和罗马帝国也定有邮驿往来。
九品中正制，又称九品官人法，是魏晋南北朝时期重要的选官制度，是曹丕采纳尚书令陈群的意见，后来各参与方基本遵从这种不成文规定。曹丕于黄初元年（220年）命陈群制定的具有法律意义的制度。此制至西晋渐趋完备，南北朝时又有所变化。从曹魏始至隋唐科举的确立，这期间约存在了四百年之久。[1][2][3]
九品中正制上承两汉察举制，下启隋唐之科举，在中国古代政治制度史上占有十分重要的地位，乃中国封建社会三大选官制度之一，实际是两汉察举制度的一种延续和发展，或者说是察举制的另一种表现形式。[2][2]
九品中正制大体是指由各州郡分别推选大中正一人，所推举大中正必为在中央任职官员且德名俱高者。大中正再产生小中正。中正就是品评人才的官职名称。大、小中正产生后，由中央分发一种人才调查表，在该表中将人才分为九等，上上、上中、上下、中上、中中、中下、下上、下中、下下。此表由各地大小中正以自己所知将各地知名人士无论是否出仕皆登记其上，表内详记年藉各项，分别品第，并加评语。小中正襄助大中正审核后将表呈交吏部，吏部依此进行官吏的升迁与罢黜。此项制度使得当时的官吏选拔有了一客观标准，此标准其实依然是采取地方群众舆论和公共意见，保留了汉代乡举里选的遗意。九品中正制的实行一方面解决了选拔官吏无标准的问题，使当时一时间吏治澄清。另一方面缓解了中央政府与世家大族的紧张关系，促成魏晋实现全国的统一打下了坚实的基础。
两汉时期的察举制，到了东汉末年，已为门阀士族所操纵和利用，他们左右了当时的乡闾舆论，使察举滋生了种种腐败的现象，与要求参与政治的中小地主及其知识分子产生了尖锐的矛盾，在如何选官的问题上斗争激烈。曹操死后，曹丕在采纳陈群的创议后，于是九品中正制成了魏晋南北朝时期主要的选官制度。但当时察举尚未完全废除。九品中正制就是在这种背景形势下产生的。
曹操（155年[1]－220年3月15日[2]），字孟德，一名吉利，小字阿瞒[73]，一说本姓夏侯，[141]沛国谯县（今安徽省亳州市）人。[3]中国古代杰出的政治家、军事家、文学家、书法家，[261]中国东汉末年的权臣，亦是曹魏政权的奠基者。太尉曹嵩之子。[3
曹操少年间任侠放荡，到二十岁时举孝廉为郎，授洛阳北部尉。后任骑都尉，参与镇压黄巾军，调济南相。董卓擅政时，散尽家财，起兵讨董卓。初平三年（192年），据兖州，分化诱降黄巾军三十余万，选取其中精锐组建青州军。建安元年（196年），迎汉献帝至许县，从此用献帝名义发号施令，总揽朝政。在此前后相继击败袁术、陶谦、吕布等势力。建安五年（200年），在官渡之战中大败割据河北的袁绍，随后削平袁尚、袁谭，北击乌桓，统一北方。建安十三年（208年）进位丞相。同年率军南征，收服荆州，但在赤壁之战中败于孙刘联军。建安二十年（215年），取汉中，次年（216年）自魏公进爵魏王。建安二十五年（220年），曹操病死于洛阳，享年六十六岁。[139]曹魏建立后，被追尊为太祖，谥号武皇帝，[112]葬于高陵。
曹操用人唯才，抑制豪强，加强集权；在北方屯田，兴修水利。他的诸种举措使统治地区的社会经济得到一定的恢复和发展。对于曹操的功业及其为人，后世评论之多，分歧之大，可谓世所罕见。[262]此外，他知兵法，工书法，擅诗歌。其诗多抒发政治抱负，反映汉末人民的苦难生活，气魄雄伟，慷慨悲凉，开建安文学之风。着有《魏武帝集》，已佚失。今人辑有《曹操集》。
早年经历
曹操出身官宦世家，《三国志》称其为西汉相国曹参之后，曹操的父亲曹嵩是宦官曹腾的养子。曹腾历侍四代皇帝，颇有名望，汉桓帝时，封为费亭侯，曹嵩继承了曹腾的爵位，在汉灵帝时官至三公之首的太尉。[3]
年轻时期的曹操机智警敏，擅长随机应变，而且任性好侠、放荡不羁，不修品行，不研究学业，所以当时的人不认为他有什么特别的才能，只有梁国人桥玄和南阳人何颙认为他不平凡，桥玄对曹操说：“如今天下将要发生动乱，非命世之才不能解救，能够安定天下的，岂不是你吗？”[4] 汝南人许劭以知人着称，他也曾评价曹操为“太平时的奸贼，乱世时的英雄”[5] （孙盛《异同杂语》记载为：治世之能臣，乱世之奸雄）。[
曹操早年就表现出对武艺的爱好与才能，博览群书，尤其喜欢兵法，曾抄录古代诸家兵法韬略，还注释过《孙子兵法》。[274] 这些为他后来的军事生涯打下了稳健的基础。
崭露头角
熹平三年（174年），曹操被举为孝廉，入京都洛阳（时称雒阳）为郎。不久，被任命为洛阳北部尉。洛阳为东汉都城，是皇亲贵戚聚居之地，很难治理。曹操一到职，就申明禁令、严肃法纪，造五色大棒十余根，悬于衙门左右，“有犯禁者，皆棒杀之”。汉灵帝宠幸的宦官蹇硕的叔父违禁夜行，曹操毫不留情，将蹇硕的叔父用五色棒处死。于是，“京师敛迹，无敢犯者”。曹操也因此得罪了一些当朝权贵，他们难以中伤曹操，只得以举荐为名，将其明升暗降，外调为顿丘（今河南清丰）县令。
光和元年（178年），曹操因堂妹夫濦强侯宋奇被宦官诛杀，受到牵连，被免去官职。其后，在洛阳无事可做，回到家乡谯县闲居。[173]
光和三年（180年），曹操又被朝廷征召，任命为议郎。[171] 此前，大将军窦武、太傅陈蕃谋划诛杀宦官，不料其事未济反为宦官所害。曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害，致使奸邪之徒满朝，而忠良之人却得不到重用的情形，言辞恳切，但没有被汉灵帝采纳。
光和五年（182年），朝廷令公卿按民谣检举刺史、二千石为害之人。当时太尉许戫、司空张济看着宦官的脸色行事，收取贿赂。宦官子弟宾客，贪污卑鄙，许戫与张济不敢过问，却虚报纠举二十六个处于边远小郡清廉惠政的人。官吏和百姓到京师申诉，陈耽和曹操上书：“公卿的检举，大都包庇各自的私党，是所谓‘放鸱枭而囚鸾凤’。”其言忠切，汉灵帝因此责备许戫和张济，并将因谣言而被问罪的官员全部拜为议郎。[301] 而后，东汉朝政日益腐败，曹操知道无法匡正，便不再进言。
中平元年（184年），黄巾起义爆发，曹操被拜为骑都尉，受命与左中郎将皇甫嵩等人合军进攻颍川的黄巾军。右中郎将朱儁先到，与黄巾军波才部作战，失败，皇甫嵩退守长社（今河南省长葛县东北），面对波才的围困，趁夜纵火出击，使黄巾军惊乱后撤。此时曹操率军赶来，联合皇甫嵩、朱儁大破黄巾军，斩首数万级[174] 。不久后，曹操调任济南国（今山东济南）国相。在济南相任内，曹操治事如初。济南国有县十余个，各县长吏多依附贵势，贪赃枉法，无所顾忌。曹操之前历任国相皆置之不问。曹操到职，大力整饬，一下奏免十分之八的长吏，济南震动，贪官污吏纷纷逃窜。“政教大行，一郡清平”。
当时正是东汉政治极度黑暗之时。朝廷徵还曹操为东郡太守，拜为议郎，曹操不肯迎合权贵，遂托病回归乡里，春夏读书，秋冬弋猎，暂时隐居了。[
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